矩阵(AB)^(-1)是否等于A^(-1)B^(-1)

矩阵(AB)^(-1)不等于A^(-1)B^(-1),等于B^(-1)A^(-1),即
(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)
利用乘法对加法分配律得,
B^(-1)(A+B)A^(-1)= B^(-1)*A*A^(-1)+B^(-1)*B*A^(-1)=A^(-1)+B^(-1)
故你题上的第一行是完全正确的,利用第一行的结果A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)
则有[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=[B^(-1)(A+B)A^(-1)]^(-1)
=A(A+B)^(-1)B,
故你题上的第二行是不正确的,右边应该是A(A+B)^(-1)B,而不是B(A+B)^(-1)A .

你上面的第一个式子可以这样理解：B^(-1)*B=E=A*A^(-1)=B*B^(-1)=A^(-1)*A
A^(-1)=E*A^(-1)=B^(-1)*B*A^(-1)
A^(-1)=A^(-1)*E=A^(-1)*B*B^(-1)
B^(-1)=B^(-1)*E=B^(-1)*A*A^(-1)
B^(-1)=E*B^(-1)=A^(-1)*A*B^(-1)
所以：A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)*B*A^(-1)+B^(-1)*A*A^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)
A^(-1)+B^(-1)=A^(-1)*B*B^(-1)+A^(-1)*A*B^(-1)=A^(-1)*(A+B)B^(-1)
矩阵（A*B）^(-1)=B^(-1) A^(-1)
所以：[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=[B^(-1)(A+B)A^(-1)]^(-1)=[A^(-1)*(A+B)B^(-1)]^(-1)=A(A+B)^(-1)B=B(A+B)^(-1)A
矩阵乘积不满足交换律：即A*B不等于B*A。

因为A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)
所以B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)
所以
[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)
=[B^(-1)+A^